Probabilité : Loi des grands nombres - Spécialité

Anne-Marie étudie la qualité de ses services au tennis. Elle associe une double faute à la valeur -1, un service gagant à la valeur 1 et les autres services à la valeur 0.

\(x_i\)	-1	0	1
\( P( X = x_i ) \)	0,1	0,7	0,2

Combien de services doit-elle réaliser au minimum pour être sûre au seuil de \( 99 \)% que la moyenne obtenue d'un échantillon \( \left( X_{1},..., X_{n} \right) \) de taille \( n \) de la variable aléatoire \( X \) soit strictement comprise entre \( 0,05 \) et \( 0,15 \).

\(X\) est une variable aléatoire d’espérance 240 et de variance 1600. \(X_1,...X_n\) est un échantillon de taille \(n\) de la variable aléatoire \(X\).

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Donner un majorant de \(P( |X-240| \geq 80 ) \).

Donner le plus petit entier \(n\) tel que \( P(|M_n-240|\lt 80) \gt 0,9 \).

Quelle est la limite de la moyenne de cet échantillon quand \(n\) tend vers \( +\infty \) ?

Pierre étudie la qualité de ses services au tennis. Il associe une double faute à la valeur -1, un service gagant à la valeur 1 et les autres services à la valeur 0.

\(x_i\)	-1	0	1
\( P( X = x_i ) \)	0,1	0,75	0,15

Combien de services doit-il réaliser au minimum pour être sûr au seuil de \( 99 \)% que la moyenne obtenue d'un échantillon \( \left( X_{1},..., X_{n} \right) \) de taille \( n \) de la variable aléatoire \( X \) soit strictement comprise entre \( -0,2 \) et \( 0,3 \).

\(X\) est une variable aléatoire d’espérance 280 et de variance 36100. \(X_1,...X_n\) est un échantillon de taille \(n\) de la variable aléatoire \(X\).

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Donner un majorant de \(P( |X-280| \geq 220 ) \).

Donner le plus petit entier \(n\) tel que \( P(|M_n-280|\lt 220) \gt 0,9 \).

Quelle est la limite de la moyenne de cet échantillon quand \(n\) tend vers \( +\infty \) ?

Pierre étudie la qualité de ses services au tennis. Il associe une double faute à la valeur -1, un service gagant à la valeur 1 et les autres services à la valeur 0.

\(x_i\)	-1	0	1
\( P( X = x_i ) \)	0,05	0,85	0,1

Combien de services doit-il réaliser au minimum pour être sûr au seuil de \( 93 \)% que la moyenne obtenue d'un échantillon \( \left( X_{1},..., X_{n} \right) \) de taille \( n \) de la variable aléatoire \( X \) soit strictement comprise entre \( -0,15 \) et \( 0,25 \).